bbz

数学A

_
previous | next | edit
1: Thu Jul 1 06:00:33 2010
昨日から始めた。場合の数と確率、論理と集合、平面図形の3章。数1よりさらにボリュームは少ない。3日で終わらす。
2: Thu Jul 1 06:05:10 2010
「数学の問題を解く」ということにやはりメンドクサさと、白々しさを感じる。
和の法則を説明された後に出される問題は和の法則を適用するに決まっている。
だが、難しいのはある現象にどの法則が適用されるかを探すことだ。
だが、数学というのはその雑多な現象を解決する法則を探すことかと言われると、それも違うと思う。
そもそも、数学が「雑多な現象を抽象化して解決する」ものだという考えだと、高校数学は受け入れられなくなる。
あきらかに自分の認識している世界以上に複雑な法則や論理が語られるからだ。

たとえば(ac+bc+dc)=c(a+b+c) くらいであれば、現実世界にも適用可能であろう。
しかし、そんなことは数学を持ち出す間でもないし、むしろ、自明のうちに人がアタマの中でしていることを、
後付で数式にしたのでは、とさえ思える。
3: Thu Jul 1 06:12:48 2010
順列で、Pという記号がでてくるが、これについては Permutation の略であることが注記されている。
私が授業を受けたときも、permutationの略であることが説明された。なぜ、これだけ説明するのだろう。
4: Thu Jul 1 06:27:32 2010
72 x 42 を計算するときにどうしますか?
電卓がすぐそばにあれば叩くでしょう。エクセルがあれば=72*42 と書くでしょう。
でもそれらがなく、紙とエンピツで何かを書いているときなら。
余白で「筆算」をしますか?わたしはイヤですね。
こうします。

72 x 42 = 7 x 4 x 100 + 40 x 2 + 70 x 2 + 2 x 2 = 2800 + 80 + 140 + 4 = 2800 + 224 = 3024

「掛け算を何回もして足すのは面倒だ、ヒッサンの方が速い!」と思うでしょう。
そして事実その通りでしょう。

しかし、紙とエンピツで線的に文字や数字を連ねているときに縦に数字をならべてヒッサンすることは、思考の流れを断ち切ってアタマの中が濁ってしまうのです。
5: Thu Jul 1 06:38:14 2010
5! * 6*5 * 6*5*4 = 5*4*3*2 * 6*5 * 6*5*4 = 60*2 * 30 * 30*4 = 30*4 * 30 * 30 * 4
= 30^3 * 16 = 27 * 1000 * 16 = 9*3 * 1000 * 4*4 = 9 * 48 * 1000 = 432 * 1000 = 432000

これは、ヒッサンを使わないように掛け方を変えたものです。
120 * 30 * 120 = 14400 * 30 としても 144 * 3 がヒッサンになります。
9*48 なら、アタマの中で計算できます。そういう掛け方を探していくわけです。
まあこれも数学の本質ではないのですがね。
6: Thu Jul 1 06:41:19 2010
こういう計算の仕方も、学校の授業の余談などで教わるんですが、子供の頃はそんな回りくどいことをせずに、
ストレートに計算したほうがいいと思うものです。大人になるとそういうストレートなアタマの使い方が面倒になるので、
楽な道をさがしていくわけです。これは大人になったから賢くなったとか、柔軟な思考ができるようになったとか、そんなかっこいいものではなく、自分のアタマの能力と経験によって得られた知識のバランスにより勝手に生まれてくる発想なのです。
7: Thu Jul 1 06:50:13 2010
今朝は45分程度で終り。学校の授業はそんなもんだろ。だが45分というのは短いものである。
どんなことだって、始めてしばらくはアタマもカラダもそれに順応するために時間がかかるものだ。
繰り返していくうちにその順応が早まっていく。順応にもエネルギーを要するから、順応に時間がかかっている状態で何かをすると、順応が完了したときにすでにある程度疲労してしまう。毎日何かをしている人とようやく同じ状態になったのに、すでに疲れてしまっているのだ。
8: Fri Jul 2 02:10:27 2010
「世の中は複雑なように見えるけど実は単純な法則に支配されている。数学は複雑な現象からその法則を発見するのに役立つ」
というのはありがちな間違った世界観であり、間違った数学観である。

世界の複雑さあるいは単純さは、それを観察する人の複雑さあるいは単純さ次第である。

単純な人は世界を単純に見る。不可解なものは認識不能とみなして切り捨てるひとには、自分が理解できるものしか見えず、世界は明快かつ可解である。

しかしどんな例外も見逃さずに、ひとつでも例外があれば自分の知っている法則を適用することをやめる人にとっては、世界を解釈できる法則など一つもないだろう。
9: Fri Jul 2 02:44:09 2010
難問奇問をできることが優秀さを示すわけではなく、試験に合格することはそれを目的として訓練すれば可能な場合もある。
しかし、学校で教科書に書いてあることを教師の言うことにしたがって聞いただけでは、その意味を理解できたかどうかもわからない。

当然のことだが、難しい試験を不合格だった、あるいは受けなかったものは授業内容を理解しているかはわからない。

そして、これも当然のことだが、自分が興味も持っていない、人から一方的に言われたことなど、半分もアタマに残らないのが普通であろう。
10: Fri Jul 2 03:25:30 2010
pascalの三角形が出てきた。その法則性はすぐに把握できる。それでは、これをperlで書いてみよう。
ググれば一発ででてきてコピペして終わるだろうが、あえて自力で書いてみる。
今日はこれができたら終りにする。楽しいぞ!
11: Fri Jul 2 04:04:15 2010
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1
1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1
1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1
1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1
1 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960 125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20 1
1 21 210 1330 5985 20349 54264 116280 203490 293930 352716 352716 293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1
1 22 231 1540 7315 26334 74613 170544 319770 497420 646646 705432 646646 497420 319770 170544 74613 26334 7315 1540 231 22 1
1 23 253 1771 8855 33649 100947 245157 490314 817190 1144066 1352078 1352078 1144066 817190 490314 245157 100947 33649 8855 1771 253 23 1
1 24 276 2024 10626 42504 134596 346104 735471 1307504 1961256 2496144 2704156 2496144 1961256 1307504 735471 346104 134596 42504 10626 2024 276 24 1
1 25 300 2300 12650 53130 177100 480700 1081575 2042975 3268760 4457400 5200300 5200300 4457400 3268760 2042975 1081575 480700 177100 53130 12650 2300 300 25 1
1 26 325 2600 14950 65780 230230 657800 1562275 3124550 5311735 7726160 9657700 10400600 9657700 7726160 5311735 3124550 1562275 657800 230230 65780 14950 2600 325 26 1
1 27 351 2925 17550 80730 296010 888030 2220075 4686825 8436285 13037895 17383860 20058300 20058300 17383860 13037895 8436285 4686825 2220075 888030 296010 80730 17550 2925 351 27 1
1 28 378 3276 20475 98280 376740 1184040 3108105 6906900 13123110 21474180 30421755 37442160 40116600 37442160 30421755 21474180 13123110 6906900 3108105 1184040 376740 98280 20475 3276 378 28 1
1 29 406 3654 23751 118755 475020 1560780 4292145 10015005 20030010 34597290 51895935 67863915 77558760 77558760 67863915 51895935 34597290 20030010 10015005 4292145 1560780 475020 118755 23751 3654 406 29 1
1 30 435 4060 27405 142506 593775 2035800 5852925 14307150 30045015 54627300 86493225 119759850 145422675 155117520 145422675 119759850 86493225 54627300 30045015 14307150 5852925 2035800 593775 142506 27405 4060 435 30 1
1 31 465 4495 31465 169911 736281 2629575 7888725 20160075 44352165 84672315 141120525 206253075 265182525 300540195 300540195 265182525 206253075 141120525 84672315 44352165 20160075 7888725 2629575 736281 169911 31465 4495 465 31 1
12: Fri Jul 2 04:05:08 2010
できた。多分あっていると思う。
ソース。

use strict;

if($#ARGV<0){
print "please specify some number.\n";
exit;
}
sub pascal{
my @array = @_;

my @new_array=();
my $old_record=0;
my $new_record=0;

foreach(@array){
my $new = $old_record+$_;
print $new."\t";
push(@new_array,$new);
$old_record=$_;
}
print $old_record;
push(@new_array,$old_record);
print"\n";

if($#new_array > $ARGV[0]){
return(0)
};

pascal(@new_array);
}

my @array1=(1);

pascal(@array1);
13: Fri Jul 2 04:08:21 2010
サーチすると確かに見つかるが意味がわからないほど簡潔である。
コピペしなくてよかった。
14: Fri Jul 2 04:16:16 2010
今はインターネットがあるから宿題の出し方にも工夫が必要だ。
たとえば今のような「・・・するプログラムを書け」といったものはサーチすればほとんど見つかるだろう。
それをさせないために、ネットにつながらない場所に監禁して携帯などを取り上げてやらせるというのもなんだし。

だから、サーチしても答えが見つからないような宿題をださねばならない。

先日、論文がコピペでないかを判定するアプリだかサービスだかがあるという話しを聞いたくらいだから、
論文のコピペは横行しているのだろう。

感想文とか、作文とかも、まるごとコピペはしないにしても、今はブログからtwitterから2チャンネルから、素材はたくさんある。

でも、そういう雑多な素材を集めて、あたかも自分が書いたかのように編集するという行為も、それはそれで何かしらの能力ではありそうだ。

無から有を生み出す能力にくらべたらクソみたいなものではあるけど。
15: Fri Jul 2 04:27:05 2010
自分で書いたこの言葉が自分の中で波紋を読んでいる。

>>2
> あきらかに自分の認識している世界以上に複雑な法則や論理が語られるからだ。

数学の教科書にかいてあることと、実際の世界(最近は『リアル』なんて言われる)と、どちらが複雑か。
わたしは何気なく「教科書に書いてあることの方が複雑だ」と書いてしまったが、普通に考えたら、現実のほうが果てしなく複雑であろう。

その辺をぶらぶらして食事して映画を見てスポーツをしてお酒を飲んでおしゃべりして寝る、というような生活であれば、算数程度の思考しか使わないとしても、さまざまな機械や食品などの設計製造にあたっては高等数学が応用されているのであろう。残念ながら私にはその一端すら知ることはできないが。

16: Fri Jul 2 04:31:06 2010
でもそれは、人間が現実世界をより詳しく把握した、ということなのだろうか。そもそも人間の認識の限界の外にあることについては、それが存在することすら、すなわち自分が認識していないものがあるということすら、認識できないのではないだろうか。

だから、人間はある意味、すべてを見ている。人間が見ているものは、すべてであり、人間が見えないものは存在しない。
17: Fri Jul 2 05:24:17 2010
順列と組み合わせ・・・。難しいというか、イメージが直感的にわかない。

「先生二人と生徒6人が円卓のまわりに座るとき、先生二人が隣り合う並び方は何通りあるか」
私の答え・・・720
正解・・・1440

「男子5人、女子4人が1列に並ぶとき、両端が女子になる並び方は何通りあるか」
私の答え・・・12
正解・・・60480


18: Fri Jul 2 05:27:13 2010
こういう問題にはこのパターンで解く、というのをおぼえるのはしんどい。
しらみつぶしに確認する方が時間はかかるが確実で、精神衛生上にもよい。

問題と解法の組み合わせをおぼえてスパスパ適用することは、ハイリスクだ。
それを間違っておぼえて、あるいは適用のしかたを間違えてただしい答えが出なかったらパニックになる。
うつ病の原因はほとんどこれに尽きるんじゃないかとさえ思える。
19: Fri Jul 2 05:41:17 2010
3日で終えるのは無理だった。今週中に終われば上等か・・・。
20: Fri Jul 2 06:04:35 2010
確率。

私が高校生の時、最後に使った教科書が確率・統計だ。それが始まる頃には私は文転していて、確率・統計などどうでもよかったのだが前提知識が不要そうなので、ちょっときいてみたような記憶がある。

そして、今でも覚えているのが「同様に確からしい」という言葉である。ゴシックの太字になっていた。
奇妙な言葉である。

新しい教科書にはそのフレーズはなかった。その代わり「結果が偶然に左右され、前もって確実に結果を知ることができないとき、ある事柄が起こる確率を正確に計算できる場合がある」という文章があった。

21: Fri Jul 2 06:13:06 2010
と思ったらやっぱり出てきた。
22: Sat Jul 3 07:29:06 2010
確率は走ってしまった。「走る」とは、内容を吟味せず、確認せず、問題をやらずにとりあえず書いてあることをメモして進んでしまうことだ。その後、演習問題だけやろうとしたら、全然できなかった。
23: Sat Jul 3 07:37:08 2010
「1から10までの番号をつけた10枚のカードから、同時に2枚をとりだすとき、次の確率を求めよ。
(1)番号の和が奇数である確率」

10枚のカードから1枚とりだす場合に、奇数である確率ならば簡単である。

だがここでは、「同時に2枚」取り出している。同時に二枚ということは、まず1枚取り出し、その後に残った9枚からもう1枚とりだすことである。この場合に1枚目が偶数または奇数である確率は1/2である。

では、2枚目のカードが偶数である確率、または奇数である確率は何か?
重要なことは、すでに1枚引いてあるということである。

1枚目が偶数であれば、残りは奇数5枚で偶数4枚だから、奇数の確率は1/5, 偶数の確率は1/4である。
1枚目が奇数であればその逆で、奇数の確率は4/1, 偶数の確率は1/5である。
24: Sat Jul 3 07:37:28 2010
奇数の確率は1/4である。
25: Sat Jul 3 07:39:48 2010
番号の和が奇数であるというのは、偶数+奇数の場合だから、1枚目が偶数で二枚目が奇数の場合、または、1枚目が奇数で2枚目が偶数の場合である。それぞれの確率は、1/2*1/5, 1/2*1/5 である。同じである。そしてそのどちらかが起こる場合なので、それぞれの確率を足すと、こたえは 1/5である。
26: Sat Jul 3 07:40:27 2010
という風に考えれば解ける。わたしはもう、このように言葉にしないと物事が考えられない。
27: Sat Jul 3 07:41:27 2010
答えを見たら間違っていた。もう一度考えよう。
28: Sat Jul 3 07:46:05 2010
あ、何やってんだ!

1枚目が偶数であれば、残りは奇数5枚で偶数4枚だから、奇数の確率は5/9, 偶数の確率は4/9である。
1枚目が奇数であればその逆で、奇数の確率は4/9, 偶数の確率は5/9である。

番号の和が奇数であるというのは、偶数+奇数の場合だから、
(1) 1枚目が偶数で二枚目が奇数の場合
または
(2) 1枚目が奇数で2枚目が偶数の場合

である。

それぞれの確率は、1/2*5/9, 1/2*5/9 である。同じである。

そしてそのどちらかが起こる場合なので、それぞれの確率を足すと、
5/18 + 5/18 = 10/18 = 5/9
である。
29: Sat Jul 3 08:08:51 2010
「1枚の硬貨を9回続けて投げたとき、表が3回でる確率」

これはどうでしょうか。全部オモテもしくは裏ならば、(1/2)^9 とわかるが、3回というのはどうなるんだろう・・・?

あーわかった。これは裏表どうこうじゃなくて、9個の丸があってそのうちの3つを黒く塗りつぶすパターンはいくつあるか、
ということだ。
それなら、9P3 で、9x8x7 = 72x7 = 504だろ?
30: Sat Jul 3 08:17:26 2010
9個のマスがあって、そのうち3個を黒くぬるパターンはいくつあるかを数える。
まず、左端を黒く塗るとする。さらに、その隣も黒く塗るとする。この場合、残りのマスが7個なので、全部で3つ塗るパターンは7通りある。このことは、2つのマスがどこにあっても当てはまる。ということは、9つのマスのなかで二つを選ぶパターンかける7が答えである。
それでは、9つのますのうち二つを選ぶパターンを考える。今度は一つのマスを黒くぬったら、残りの8つのマスのどれかを塗ることになる。ということは、9つのマスのうち二つを黒くぬるパターンは、9x8=72通りである。これに7をかけるから、504である。
31: Sat Jul 3 08:20:49 2010
さて、今求めようとしているのは、パターンの数ではなくて確率である。分母はいくつか。分母は、9つのマスを黒または白で塗りつぶす組み合わせはいくつあるかということだ。これは一つのマスが黒または白となり、それが9個あるから、2^9でよい。

よって「一枚の硬貨を9回投げて表が3回でる確率」は、504/2^9 である。 2^10 = 1024 であることはおぼえているから、2^9 = 512。 504/512 = 252/256 = 66/64 = 33/32
どうだ!
32: Sat Jul 3 08:21:16 2010
また間違っている・・・。
33: Sat Jul 3 08:25:14 2010
次。

「2個のさいころを投げて出た目の和をXとしたときのXの期待値は?」

1個なら、(1+2+3+4+5+6)/6 である。

2個の目の和となったら、どうなるのか。

倍じゃないの? (1+2+3+4+5+6)/3

どうだ!
34: Sat Jul 3 08:25:42 2010
また間違っている・・・・。
35: Sat Jul 3 08:46:07 2010
>>31 がどうして間違っているのかわからない・・・。答えには公式を使う方法が書いてあるのだが、理屈は正しいとおもうのだが・・・。
36: Sat Jul 3 08:58:52 2010
答えは21/128なので、42/256= 84/512

あ、計算が間違ってる、504/512=252/256=126/128=63/64 だね。
それでも間違ってるけど。

正答: 21/128
間違い: 126/128

なので、6倍多い。
37: Sat Jul 3 09:01:19 2010
確率って、原理は単純だと思うんだけど、Permutation と Combination の記号が出てくるとわからなくなる。
5p3なら 5x4x3, 5c3なら 5x4x3/3x2x1 というのは頭に残っているのだが、それぞれがどういう意味かを忘れてしまっている。
だから、pやcは使わず、さっきのようにそのときそのときのケースに応じて考えているのだ。そして間違える。
38: Sat Jul 3 09:04:36 2010
うーん、まさにそこだな504というのは 9P3で、そこが9C3だと1/6で正解になる。

でも、9回投げたときに3回オモテが出るケースの数は、CombinationでなくてPermutationでいいと思うんだけどな。
39: Sat Jul 3 09:11:58 2010
9回のうち3回を選ぶのは9P3でいいんだけど、それぞれが1/2の確率で起きることを考慮しないといけない。
1/2をどうすればいいんだ?
40: Sat Jul 3 12:06:56 2010
9c3の、(1/2)^3 * (1/2)^6

9回の試行のうちのどれか3つを選ぶのが 9c3 で、
そうなる確率が、(1/2)^3 * (1/2)^6 なのでそれらをかけたものが確率。

偶数か奇数かは両方1/2なので、(1/2)^9 だけど。

この式は、反復試行の確率として公式化されている。

一回の試行で事象Aが起こる確率をpとする。
この試行をn回繰り返しおこなうとき、事象Aがちょうどr回起こる確率は
nCr * P^r * q^(n-r)
ただし q=1-p

この式、どっかでみたことありますね。
41: Sat Jul 3 12:09:56 2010
(a+b)^n の一般項 nCr * a^(n-r) * b^r

ですね。

(q+p)^n の一般項 nCr * q^(n-r) * p^r

ほらね。
42: Sat Jul 3 12:10:36 2010
数式にするとゴチャゴチャしてるけど、その意味はたいしたことじゃない・・・。
43: Sun Jul 4 06:35:49 2010
これはね、確実に教科書がわかりやすくなっていますよ。
私の集中力とか読解力のせいじゃなくて、教科書が読み手にわかりやすいように書かれています。

それは内容の選択も、話の並べ方も、みんな含めて。

基本的な方向性とか、話の進め方は私のときと同じなんですが、「それはわかるけど、なぜ今それを言うのか?どうしてここでその話が出てくるのか?・・・だから、何?」という疑問が湧きにくい。
44: Sun Jul 4 07:40:38 2010
第三章は平面図形である。

第一節は三角形の性質。
外心、内心などが説明されている。なるほどフンフンと読み進め、ボリュームも少ないのですぐに終わる。
が、問題をとこうとしたら全然できない。

たとえば、
「△ABCの外心をO、内心をIとする。角A=αであるとき、角BOCの大きさをαを用いて表せ。」

とりあえず図を描いてみる。
外心とは、外接円の中心となる点である。三角形の各辺の垂直二等分線の交点である。

外接円を描いてみたり、AからOに線を引いてみたりする。Aは円周角とかいうんじゃなかったっけ・・・。
COを延長してABに交わらせたりしてみる。・・・わからない。

見た感じ、大体2倍くらいだ。

こたえはやっぱり2αである。
サーチするとそれは定理として紹介されていた。

だが、どうしてそうなるのかがわからない・・・。
45: Sun Jul 4 07:48:23 2010
証明を見た。これは中学校で習ったっけ・・・?
角OAC=角OCA、角OAB=角OBA・・・

あれかな、図形の感覚というのは衰えてるかな?
オトナになると空間的な思考をしなくなるからな・・・。
線形的に考えるようになっているから。
46: Sun Jul 4 07:50:00 2010
と思ったら「円周角の定理」はこの後に出てきたよ・・・
47: Sun Jul 4 08:33:52 2010
最後は走って定理の内容だけをフーン、と聞いて、数学Aを終えた。
まだ問題が3ページ残っているが、あとでやる。

量的にはたいしたことがなかったのだが演習をやると全然できないので、3日で終わらすつもりが4日かかった。
48: Sun Jul 4 08:35:14 2010
数1と数Aをやって、かなり頭が整理された。
特に新しい武器を手に入れたわけではないが、数学に対するコンプレックスはほとんどなくなった。
後でセンター試験をやってみるつもりだ。80点くらい取りたい。無理かな。
49: Sun Jul 4 08:37:56 2010
さて、今回感じたことでもっとも大きかったのは、「演習に意味があるのか?」という疑問だ。
定理の意味を把握していることを確認するくらいなら、意味はある。
しかし、状況を複雑化して、その中から定理を適用できる部分を選びだして適用するのは、
もはや数学ではなく頭の体操になっていないだろうか?

そして、私はある疑いを持った。
それは、数学者でさえ、数学は頭の体操だと思っているのではないか?ということである。
50: Sun Jul 4 08:43:07 2010
受験数学を批判したり、教科書に定理の証明がないとかそれが不十分だとかいうことを嘆く数学の先生がいる。

だがそれは少数であり、そういう先生たちも、文科省の管轄化で働く役人なのである。
私立学校の先生は役人じゃないかもしれないが、資格をとるなり過程にしたがって教育するなど、
国の方針にしたがっていることにはかわりがない。

もし本気で教育のあり方が間違っていると考えるなら改革すべきなのだ。
それをせずに一教師に甘んじてブログなどで批判をしても虚しいのだ。
51: Sun Jul 4 09:03:18 2010
まあ、それはいいや。

わたしが感じている疑いは、単に数学の教育がなっとらん、というようなことではなく、
数学という学問そのもの、多分、数学に限らず学問そのもののあり方に対する疑いである。

歴史の教科書を見ても、数学でもいい、歴史に残る学者など数人である。
数Aの教科書で紹介されているのは、タレス、ピタゴラス、ユークリッド、アルキメデス、パスカル、フェルマ、ブール、ロバチェフスキー、ボーヤイの9人である。タレスは紀元前6世紀の人間である。2600年の歴史のなかで9人だ。
100年に1人だって26人いる。
微分積分の主要な着想はニュートンによってされたという。17世紀のことである。

ただし、われわれはニュートンの思考を学んでいるのではない。
ニュートンによって考え出された方法をご託宣のように受け入れてありがたく使わせていただくのみである。


52: Sun Jul 4 09:08:57 2010
もちろん世紀の大発見も、先人の研究を引き継ぐところから生まれるのであろう。
教科書にのらない無名の数学者達も、それに貢献したのであろう。

しかし、やっぱりわたしは疑問を捨てることができない。
本当にニュートンのような学者が出現したのは、年月と確率によるものなのか、と。

本当は、ニュートンのような動機と目的をもてば、同じような発見ができるのではないか、と。
天才学者というのはそれができた人なのではないか。
そうであれば、われわれがすべきことは彼らが発見した定理や法則を覚えて応用することではなく、
彼の考え方、動機や目的を学ぶことなのではないのか。

なぜ、ニュートンが微積分について考えたのか。万有引力をリンゴが落ちるのを見て発見した、というけれど、
それは、ある意識をもって見たから発見できたのである。リンゴが落ちるところなど見ている人はゴマンといたのに、
ニュートンしかその法則を発見しなかった、そのニュートンのリンゴを見る目をわれわれは学ぶべきである。
53: Sun Jul 4 09:18:45 2010
wikipediaで調べたところによると、ニュートンはもちろん大変な勉強家であり、ユークリッドやデカルトやケプラーの著作を読んでいたらしい。しかし、万有引力やら微積分の発見をしたのは、ペストの流行で大学が閉鎖されたために故郷へもどって自身で研究した2年足らずの間のことだったそうだ。

おそらく、この研究期間がなかったら、ニュートンはただの優秀な学者で終わっていただろう。先人の著作を理解するだけの学者で終わっていただろう。もちろんその知識が土台にあった上で彼の研究が開花したのではあろうが、
果たして本当に現在の学者、今まで学者であった人々が、何か新しい発見をしようという意識を持っていたかというのははなはだ疑問である。

わたしは身の回りをみても、みんなそんな大それたことは考えず、せいぜい出世とか教授になるとか医者になるとかいう程度の動機しか持っていない。

わたしは高校のときに、まもなく有名大学の物理学の教授になろうとしている男がどんな勉強をしていたかを、じっくり見ているのである。わたしは彼の「勉強」方法と、知識に対する姿勢におおいに疑問を感じていた。

彼には知ることや学ぶことに対する喜びが全く感じられなかったのである。
わたしはそんな風に生きるための手段や道具として勉強するのなら、しないほうがマシだと思って、彼のすぐそばで机に突っ伏して寝ていたのである。
54: Sun Jul 4 09:25:51 2010
デカルトも軍隊に入ったり、隠遁したりした末に、夢を見て革新に至る。
「勉強」の延長に革新はないのである。
55: Sun Jul 4 09:38:54 2010
ニュートンやデカルトは、きっと、定理を証明するだけでなく、その定理をどうやって思いついたのか、
なぜ思いついたのか、どうしてそんなことを考えようと思ったのか、ということを、隠遁していたときに考えたに違いない。

彼らの重ねてきた勉強や研究は、それが誰にも成し遂げられていないことを確認する作業でしかなかった。
そして、新しい真理は、それらをすべて学んだら自動的に現れてくるようなものではないことを知ったのである。
56: Sun Jul 4 11:20:19 2010
最後の3ページの問題が全くできない。
教科書に書いてある定理を読んだだけだと、とたんにこの有様だ。
しかし、定理の中身は一応理解したし、教科書を再度みなおしてもいるが、それでもわからない。
なんでだ?
57: Mon Jul 5 03:14:11 2010
センター試験は30点・・・。
リベンジに、と国語をやったが136点・・・。
倫理が80点、世界史Bが55、世界史Aが67。

数学と世界史はまあいいとして、国語の136は・・・。7割以下か。
しかも現代文の出来が悪い。
58: Mon Jul 5 03:15:19 2010
あとは英語と理科か・・・。英語は9割越えが必要だな。
59: Mon Jul 5 04:37:28 2010
英語は174。9割ならず。結構量が多い。TOEICよりやややさしいくらいかな。

60: Thu Mar 21 05:10:10 2013
>>23をもう一度

1から10までの番号をつけた10枚のカードから、同時に2枚をとりだすとき、次の確率を求めよ。
(1)番号の和が奇数である確率
(2)番号の和が偶数である確率
(3)番号の積が奇数である確率
(4)番号の積が偶数である確率
61: Thu Mar 21 05:12:56 2013
まず、10枚のカードから同時に二枚取り出す組み合わせの数は、combin(10,2) = 10*9/2*1 = 45である。
(1)から(4)のそれぞれの場合の数を出せばよい。

(1)から(4)は、以下のように言い換えられる。

(1)「1枚が奇数で1枚が偶数である確率」
(2)「(1)でない確率」
(3)「2枚とも奇数である確率
(4)「(3)でない確率」
62: Thu Mar 21 05:15:08 2013
(1)1枚が奇数で、かつ、1枚が偶数なので、該当する場合の数(分子)は、combin(5,1) * combin(5,1) = 5 * 5 = 25 25/45 = 5/9 が答え。

(2) 1 - 5/9 = 4/9
63: Thu Mar 21 05:18:53 2013
(3)2枚とも奇数である場合の数は5枚あるカードから2枚を選ぶ数に等しく、その数はcombin(5,2) = 5*4/2 = 10

確率は、10/45 = 2/9

(4) 1- 2/9 = 7/9
64: Thu Mar 21 05:20:41 2013
確率は難しいね。

なんか簡単そうなんだけど、難しいよ。

なんというか、直感で考えるとことごとく失敗する。
65: Thu Mar 21 05:26:46 2013
確率の基本は、(注目する状態になるパターンの数)/ (全パターンの数)である。

permutation や combination はその「数」を表すものであって、「確率」ではない。


次に、「Aが起きて、かつ、Bが起きる」と言う場合、その確率は(Aが起こる確率)x(Bが起こる確率)である。
66: Thu Mar 21 05:28:32 2013
私が混乱するのは、以下のような場合である。

「赤玉3個、白玉5個が入っている袋から玉を3個同時に取り出した場合に、赤玉が1個となる確率」
67: Thu Mar 21 05:30:24 2013
合計8個なので、その中から3個取り出すパターンは combin(8,3)である。これはよい。

問題は分子となる、「赤玉1個となる場合の数」である。

教科書には、「 combin(3,1) * combin(5,2) 」となっている。
68: Thu Mar 21 05:31:41 2013
「3個ある赤玉の中から1個を選ぶ場合の数」

かける、

「5個ある白玉の中から2個を選ぶ場合の数」

である。


ここでかけているのは、確率ではなく、場合の数である。
69: Thu Mar 21 05:42:34 2013
私がこの問題を自力で考える場合、以下のように考える。

「最初の1個を取り出したときに赤である確率は3/8。すでに赤が出たから残りの2個が白である確率を求めればよい。2個目が白である確率は、すでに赤は1個減っているから、5/7となり、さらに3個目も白となる確率は、赤が2個、白が4個のなかから白を選ぶ確率だから、4/6。1個目だけが赤になる確率はこの3つをかけたものだから、3/8 * 5/7 * 4/6 = 3*5*4/8*7*6 = 5/28。

そして、赤が1個になるのは、今計算した1個目が赤になる場合にくわえ、2個目のみが赤になる場合、3個目のみが赤になる場合があるから、それぞれの確率を計算し、その3つのいずれかが起きる場合であるから3つを足せばよい。

2個目のみが赤になる確率は、5/8 * 3/7 * 4/6 = 5*3*4/8*7*6 = 5/28。さっきと同じだ。

3個目のみが赤になる確率は、5/8 * 4/7 * 3/6 = 5*4*3/8*7*6 = 5/28。全部同じなのか。

三つを足すと、15/28。」
70: Thu Mar 21 05:43:42 2013
教科書では、さらっと以下のように書いている。

「赤玉が1個となる確率は

combin(3, 1) x combin(5, 2) / combin(8,3) = 30/56」


いちおう私の答えと一致はしている。
71: Thu Mar 21 05:51:31 2013
だが、ひっかかるのは、どうして combin(3,1) に combin(5,2) を「かける」のか、というところである。

さっきの、偶数・奇数にかんする問題のとき、「2枚とも奇数である場合」を combin(5,2)としていた。

それと同じように考えると、3個ある赤玉から1個選ぶのだから combin(3,1)だけでよいように思えてしまう。
72: Thu Mar 21 06:01:54 2013
偶数・奇数の問題のときは、2枚選んだので、それが2枚とも奇数である場合を数えれば終わりである。

しかし、赤玉白玉の問題では3個選んでいるから、1個が赤であったら、それ以外の2個が5個ある白玉からどれを選ぶかという事を考慮しなければならない。

「場合の数」を考えるときには、「それが白か赤か」だけを考えるのではない。

白い玉は5つあるのであり、見た目では区別がつかないかもしれないが、5つある玉から2つとる場合の数は複数あり、それが combin(5,2)である。

全部列挙するなら、

赤1、赤2、赤3、白1、白2、白3、白4、白5

この中から赤い玉を1個選ぶ場合の数は、

1:赤1
2:赤2
3:赤3

の3つである。この3という数字は、 combin(3, 1) = 3 である。

そして、この問題では玉は3つ選んでいるから、残りの2つを5つの白玉から2つ選ぶ場合の数を考慮する必要があり、それは、

1:白1と白2
2:白1と白3
3:白1と白4
4:白1と白5
5:白2と白3
6:白2と白4
7:白2と白5
8:白3と白4
9:白3と白5
10:白4と白5

10通りとなる。これが、combin(5 ,2) = 10 である。

73: Thu Mar 21 06:09:28 2013
この二つをなんで「かける」のか。

しつこいようだがもう一度ここを確認する。


「Aが起こりかつBが起こる」場合にかけるのは確率であって、場合の数ではなかった。


今は場合の数を数えているのである。combin(3,1)とcombin(5,2)はともに場合の数だ。

「赤が1個でかつ白が2個」と言えそうだが、赤が1個なのだからその時点で残りが白なのは確定ではないか?

74: Thu Mar 21 06:12:47 2013
教科書の一番最初の方に書いてあった。場合の数についても積の法則が成り立つと。

そんなのあたりまえじゃん、と聞き流していたが、この辺をちゃんと理解できてなかったんだな。
75: Thu Mar 21 06:16:30 2013
では、応用。

「麻雀牌を10枚取ったときに、「一万」の暗刻ができている確率を求めよ。」
76: Thu Mar 21 06:22:39 2013
麻雀牌は1つの牌が4枚、マンズ、ピンズ、ソーズで1から9まで、合計4x9x3=108枚ある。

そして東西南北と三元牌の7種類の牌が28枚あるから合計136枚である。

つまり、34種類の牌が4枚ずつあることになる。


ここから10枚取り、その順序は考慮しないから、その組み合わせの数は、combin(136,10) である。

が、この数がとんでもない大きな値である。エクセルで計算した。

425067659180736


バカ正直に計算すると、136*135*134*....*127 / 10! で、とてもやってられない。
77: Thu Mar 21 06:27:44 2013
これが分母になる。

次は分子だ。

一万を三枚取る場合の数は、4枚あるから、combin(4,3)である。

そして、残りの7枚は3枚の一万を除いた残りの牌の中から選ぶから、

combin(133,7) であり、

二つをかけて、combin(4,3) * combin(133,7) となる。

というわけで答えは、

combin(4,3) * combin(133,7) / combin(136,10) ≒ 0.001170618

約0.1%となる。
78: Thu Mar 21 06:36:41 2013
10枚ツモっただけでは、非常に小さな確率である。

では、100枚ツモった場合をどうか。さっきの10を100に置き換えるだけである。

combin(4,3) * combin(132,97) / combin(136,100) ≒ 0.426967330530013

約42%。
79: Thu Mar 21 06:50:43 2013
訂正

10枚の場合
combin(3,3) * combin(133,7) / combin(136,10) ≒ 0.000292654

100枚
combin(3,3) * combin(133,97) / combin(136,100) ≒ 0.394351771

120枚
combin(3,3) * combin(133,117) / combin(136,120) ≒ 0.684908789

130枚
combin(3,3) * combin(133,127) / combin(136,130) ≒ 0.872500244




80: Thu Mar 21 06:57:08 2013
130枚で87%というのは低いな。あと6枚しか残ってないのに。
まだ違うかな。

combin(3,3) は、combin(4,3)だと思ったのだが、そうすると途中で確率が1を超えてしまう。


>>96 の式だと、最後が 約1になって正しそうなのだが、

combin(3,3)としてしまうと、4枚あるうちの3枚を使ってアンコにする場合、となってしまうんじゃないか?
81: Thu Mar 21 07:04:41 2013
正しくは(100枚の場合)、

combin(4,3) * combin(132,97) / combin(136,1)

じゃないかと思うのだが、こうすると、今度は105枚あたり、0.43でピークになって、
そこから下がってしまうのだ。
82: Thu Mar 21 07:06:59 2013
excelの統計関連の関数はバグがあると聞いたことはあるけど・・・
83: Thu Mar 21 07:15:03 2013
さっきの赤玉白玉と同じ考えでいけると思うんだけどな。

一万を赤玉、その他の牌を白玉と置き換えてみると、以下のようになる。

「赤玉4個、白玉132個が入っている袋から玉を10個同時に取り出した場合に、赤玉が3個となる確率」
84: Thu Mar 21 07:21:29 2013
一万は4枚あるから、それを3枚選ぶ組み合わせの数は combin(4,3)、これは間違いないだろう。

そして、残りの7枚は、136枚から3枚除いた133枚の中から7枚を選ぶ組み合わせの数だ。

この時、一枚残った一万も加えなければならないから、132ではなく133となる。

だから、組み合わせの数は、combin(4,3) * combin(133,7) となる。



やっぱり最初にたてた式が正しいと思うんだけどな・・・
^
previous | next | edit