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指数と対数

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1: Thu Apr 4 17:55:39 2013
こんな問題があった。「3の50乗は何桁になるか。ただし、10を底とする3の対数を0.4771とする」

「10を(10を底とする3の対数)乗するといくつか」

「10を(100を底とする2の対数)乗するといくつか」


どれもわからない。全部高校の教科書に載っている問題である。
2: Thu Apr 4 17:57:39 2013
私は数学が苦手だった。それは40歳を超える今になってもコンプレックスである。数学をちゃんと勉強しなかったことが自分の人生を変えてしまったような気さえする。「数学なんか世の中に必要ない」というような考えを持っていたわけではない。「数学ができないから、それが必要とする世界に踏み込めない」のではないかという気がしてならない。
3: Thu Apr 4 17:59:13 2013
上にあげた問題は、どこかで聞いたような気がするな、というものではあったが解けない。どうやって解けばいいのかもわからない。

そして実際にはこのように言葉で書かれておらず、logなどの記号を使って書かれているがここだと表現できないので言葉にした。
4: Thu Apr 4 18:06:41 2013
「3の50乗は・・・」については、以下のように解くことがわかっている。
底の10は省略して書く。

log3^50 = 50log3 = 50(0.4771) = 23.8550

ゆえに、 23 <log3^50 < 24

よって、10^23 < 3^50 < 10^24

したがって、3^50 は24桁の整数である。


perlで計算してみると以下のようになった。

perl -e "use bigint; print 3**50";

717,897,987,691,852,588,770,249
5: Thu Apr 4 18:11:35 2013
これはよく見る問題なのでもうおぼえてしまったのだが、こんな解き方をどうして思いつくのかと驚くばかりである。

次に、「10を(10を底とする3の対数)乗するといくつか」 であるが、これは解き方は不明であるが答えは 3 である。

「10を(100を底とする2の対数)乗するといくつか」 の答えは、√2 である。

これらも答えをきくとなんとなくああそうか、とわかるような気がしなくもないが、自力で解くことは無理である。
6: Thu Apr 4 18:13:39 2013
今はインターネットがあって、指数や対数についての情報が豊富にみつかる。私は高校の教科書も持っている。あと、「指数・対数のはなし」という森毅さんの書いた本も持っている。それらをざっと読んでみたのだが、やっぱり依然として私には指数・対数というものがどういうものなのかがいまひとつピンとこない。
7: Thu Apr 4 18:19:03 2013
そして先ほど疑問に思ったことは、「10を底とする3の対数が0.4771」ということであるが、これはつまり、10を0.4771乗すると3になる、ということである。

「なんとか乗」というのは、ある数を何回か繰り返しかけることを言うのではなかったのか。「10を0.4771回かける」なんていうことはありえないことではないか。


教科書には「aをn個掛け合わせたものをaのn乗といい」とある。

そして、指数法則は指数が0,負の整数、有理数、無理数、つまり任意の実数のときにも成り立つ、ということが書かれている。

でも、「10の0.4771乗」というのはどういうことなのだろう?
8: Thu Apr 4 18:26:57 2013
「10を2回掛けると100になる。」

「10を0.5回掛けると?」

これは10^(1/2) で、√10となる。3.162277... である。

「10をマイナス3回掛けると?」

10^(-3) = 1 / (10^3) = 1 / 1000


これはもはや、「指数の数だけ掛ける」という「累乗」の定義は変更しなければならないのではないか?
9: Thu Apr 4 18:40:48 2013
つまり、「累乗(べき乗)」という演算は、指数が整数の時には「ある数を指数の数だけ掛け合わせる」ということになるがそれはむしろ特殊なケースなのである。

それでは、「累乗」とはどういうものであると説明しなおすべきであろうか。

10^2 = 100

10^3 = 1000

では、10^2.5 は?

100と1000のあいだであろう。

2と3のちょうどまんなかだから、100と1000のちょうど真ん中になるだろうか?
真ん中だとすると、550?

でも足し算じゃないから、そんなきれいに真ん中にはならないんじゃないか・・・。

10^1 = 10, 10^4 = 10000

指数が1増えるごとに、90, 900, 9000と値が増える。

10: Thu Apr 4 18:48:06 2013
ということは、2乗と3乗の間の2.1, 2.2, 2.3.... 乗についても、指数が大きくなるごとに増分が増えているはずだ。

だから、2.5乗の値は100と1000の真ん中よりも低いだろう。そうでないと、それ以降の増分が1000を追い抜いてしまうだろうから。

だから、10^2.5は550より小さい値、どれくらい小さいかはわからないがその半分、275くらいではないか?
11: Thu Apr 4 18:50:24 2013
excelで、指数が1から0.1刻みで5までの10の累乗をグラフにしてみた。
最初は地を這うようになかなか増加しないが終盤にかけて急増するグラフになった。

肝心の 10^2.5 の値は 316.2278である。
12: Thu Apr 4 18:56:24 2013
では今度は10^3.5を予測してみようか。

100から1000の間の2.5では 約316であった。

1000から10000の間ではどうか?


先ほどの増分は900だから、真ん中でほぼ1/3ということになる。

今回の増分は9000なのでその1/3とすると約3000だが、それでいいのだろうか?

増加の度合いは指数が大きくなるたびに増えているはずだ。

だから1/3よりもう少し大きい値ではないか。

いや、それとも逆に、増分が知りあがりに増えるのだから中間点の位置は先ほどより低くなるのではないか?
よし、その考えを採用して、10^3.5 は、2600 くらいだと予測する。どうだ?
13: Thu Apr 4 19:00:57 2013
約3162であった。

が、10^3.4が 2511、10^3.6が3981である。

0.1違うだけで600、800も変わる。

指数が3から4になるとべき乗は1000から10000だから9000増える。
10で割ると900。

この区間の増分を均一にすると0.1あたり900だが、3.4から3.5では600, 3.5から3.6では800しか変化していない。
14: Thu Apr 4 19:03:15 2013
10^4.5 を予測しよう。

10^2.5 ≒ 316

10^3.5 ≒ 3162


これは・・・素直に

10^4.5 ≒ 31600

でいってみよう。

15: Thu Apr 4 19:06:00 2013
31622だった。

以下に指数と10の指数乗の値を記す。


5.5 316228
6.5 3162278
7.5 31622777
8.5 316E+08
...

16: Thu Apr 4 19:08:10 2013
真ん中よりずらした場所ではどうか?


1.3 20
2.3 199
3.3 1995
4.3 19953
5.3 199526


1.8 63
2.8 630
3.8 6310
4.8 63096
5.8 630957
17: Thu Apr 4 19:14:04 2013
3の累乗の場合。

1.5 5.2
2.5 15.6
3.5 46.8
4.5 140.3


だいたい、3倍ずつになっている。
18: Thu Apr 4 19:38:28 2013
累乗とかベキ乗とかいっても、要はある数字にある実数を掛けているのである。
その掛ける数字を増加させる途中で、たまたまその数字を2回とか3回とか掛け合わせる状況があるだけだ。

3掛けるxも、掛ける数を増加させていく。

では、3掛けるxと、3のx乗では何が違うのだろうか。

19: Thu Apr 4 19:43:13 2013
「3の0.123乗」がわからないというなら、「3掛ける0.123」も同様にわからないのではないか?

掛け算とはリンゴが3個のった皿が5枚あるから3x5=15というものだと考えると、

3掛ける0.123はどういうことかとなる。

でも3掛ける0.123であれば、リンゴの123/100だという風に考えると理解できる。


だが累乗だとどういう風に考えても、実世界と結びつけられないのである。
20: Thu Apr 4 20:10:19 2013
数(かず)には、「量」と「個数」の意味がある。

3x5=15 を考える。

「3個のリンゴが(乗った皿が)5個ある」という、どちらも個数の概念である。

「3グラムのおもりが5個あるから全部で15グラムである」これは量に個数をかけた。


累乗を考える。

3^5 = 243

リンゴでたとえることができるか。3個のリンゴがあって、それを5乗するというのはどういうことが考えられるだろう?


いい例があった。

2乗であれば、紙を半分に破り、それを重ねてまた半分に破り、というときの紙の枚数を考えると、

2^n で表せる。


でもやっぱり、2^1.5ということの具体例がない。


21: Thu Apr 4 20:13:18 2013
魔法使いがいて、ある魔術をつかうとものが3倍に増えるとする。1個のリンゴに一回魔法をかけると3個になる。3個になったリンゴ全体にもう一度魔法をかけると、それぞれが3個になる。魔法をかける回数をnとするとリンゴの個数は 3^n で表せる。でもこれも 3^2.4 の例がない。
22: Thu Apr 4 20:23:11 2013
金利かな・・・。

年利30%で100万円借りた。

1年後の利息は30万円。カネがないのでさらに30万借りて利息を返した。借金総額は130万円。
さらに1年後は130x0.3=39万円の利息。同じように借りて利息だけ返した。

これを繰り返すと、

100

100 + 100x0.3 = 130

130 + 130x0.3 = 169

169 + 169x0.3 = 219.7

...
23: Thu Apr 4 20:31:20 2013
年利30%、1年後との複利で100万円借りたとき、n年後の借金総額は

100(1+0.3)^n 万円となる。


ある時宝くじにあたって、全額返済することになった。

それは借金して5年と3ヶ月たった時のことであった。

金貸しと相談して、じゃあ6年目の金利は4分の1でいい、ということになった。

という場合、

100(1+0.3)^5.25 となる。

これでいいかな?

24: Thu Apr 4 20:31:55 2013
6年目一杯借りた場合は 約482万円になるが、
5年と1/4とすると、約396万円になる。
25: Thu Apr 4 20:48:43 2013
ようは、「累乗」「べき乗」というと、尻上がりに増加するというのともうひとつ、連続でなく階段状にダン!ダン!と増えるものというイメージが捨てきれないのだ。

イチサン、ニンロク、ゴンニ、マンガン!!という風に。

牌をひとつ積もってメンツができあがるごとに100点ずつ得点が増えたりしないように。
それでも階段状だけど。


累乗が連続的にあてはまる現象って何かあるかな?

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