bbz


「10を(10を底とする3の対数)乗するといくつか」

「10を(100を底とする2の対数)乗するといくつか」


どれもわからない。全部高校の教科書に載っている問題である。


そして実際にはこのように言葉で書かれておらず、logなどの記号を使って書かれているがここだと表現できないので言葉にした。

底の10は省略して書く。

log3^50 = 50log3 = 50(0.4771) = 23.8550

ゆえに、 23 <log3^50 < 24

よって、10^23 < 3^50 < 10^24

したがって、3^50 は24桁の整数である。


perlで計算してみると以下のようになった。

perl -e "use bigint; print 3**50";

717,897,987,691,852,588,770,249

次に、「10を(10を底とする3の対数)乗するといくつか」 であるが、これは解き方は不明であるが答えは 3 である。

「10を(100を底とする2の対数)乗するといくつか」 の答えは、√2 である。

これらも答えをきくとなんとなくああそうか、とわかるような気がしなくもないが、自力で解くことは無理である。

「なんとか乗」というのは、ある数を何回か繰り返しかけることを言うのではなかったのか。「10を0.4771回かける」なんていうことはありえないことではないか。


教科書には「aをn個掛け合わせたものをaのn乗といい」とある。

そして、指数法則は指数が0,負の整数、有理数、無理数、つまり任意の実数のときにも成り立つ、ということが書かれている。

でも、「10の0.4771乗」というのはどういうことなのだろう?

「10を0.5回掛けると?」

これは10^(1/2) で、√10となる。3.162277... である。

「10をマイナス3回掛けると?」

10^(-3) = 1 / (10^3) = 1 / 1000


これはもはや、「指数の数だけ掛ける」という「累乗」の定義は変更しなければならないのではないか?

それでは、「累乗」とはどういうものであると説明しなおすべきであろうか。

10^2 = 100

10^3 = 1000

では、10^2.5 は?

100と1000のあいだであろう。

2と3のちょうどまんなかだから、100と1000のちょうど真ん中になるだろうか?
真ん中だとすると、550?

でも足し算じゃないから、そんなきれいに真ん中にはならないんじゃないか・・・。

10^1 = 10, 10^4 = 10000

指数が1増えるごとに、90, 900, 9000と値が増える。



だから、2.5乗の値は100と1000の真ん中よりも低いだろう。そうでないと、それ以降の増分が1000を追い抜いてしまうだろうから。

だから、10^2.5は550より小さい値、どれくらい小さいかはわからないがその半分、275くらいではないか?

最初は地を這うようになかなか増加しないが終盤にかけて急増するグラフになった。

肝心の 10^2.5 の値は 316.2278である。

100から1000の間の2.5では 約316であった。

1000から10000の間ではどうか?

指数と対数

_
previous | next
1: Thu Apr 4 17:55:39 2013
こんな問題があった。「3の50乗は何桁になるか。ただし、10を底とする3の対数を0.4771とする」
10: Thu Apr 4 17:57:39 2013
私は数学が苦手だった。それは40歳を超える今になってもコンプレックスである。数学をちゃんと勉強しなかったことが自分の人生を変えてしまったような気さえする。「数学なんか世の中に必要ない」というような考えを持っていたわけではない。「数学ができないから、それが必要とする世界に踏み込めない」のではないかという気がしてならない。
11: Thu Apr 4 17:59:13 2013
上にあげた問題は、どこかで聞いたような気がするな、というものではあったが解けない。どうやって解けばいいのかもわからない。
15: Thu Apr 4 18:06:41 2013
「3の50乗は・・・」については、以下のように解くことがわかっている。
32: Thu Apr 4 18:11:35 2013
これはよく見る問題なのでもうおぼえてしまったのだが、こんな解き方をどうして思いつくのかと驚くばかりである。
39: Thu Apr 4 18:13:39 2013
今はインターネットがあって、指数や対数についての情報が豊富にみつかる。私は高校の教科書も持っている。あと、「指数・対数のはなし」という森毅さんの書いた本も持っている。それらをざっと読んでみたのだが、やっぱり依然として私には指数・対数というものがどういうものなのかがいまひとつピンとこない。
40: Thu Apr 4 18:19:03 2013
そして先ほど疑問に思ったことは、「10を底とする3の対数が0.4771」ということであるが、これはつまり、10を0.4771乗すると3になる、ということである。
50: Thu Apr 4 18:26:57 2013
「10を2回掛けると100になる。」
62: Thu Apr 4 18:40:48 2013
つまり、「累乗(べき乗)」という演算は、指数が整数の時には「ある数を指数の数だけ掛け合わせる」ということになるがそれはむしろ特殊なケースなのである。
84: Thu Apr 4 18:48:06 2013
ということは、2乗と3乗の間の2.1, 2.2, 2.3.... 乗についても、指数が大きくなるごとに増分が増えているはずだ。
90: Thu Apr 4 18:50:24 2013
excelで、指数が1から0.1刻みで5までの10の累乗をグラフにしてみた。
94: Thu Apr 4 18:56:24 2013
では今度は10^3.5を予測してみようか。
^
previous | next



log